Suma geométrica y algunas generalizaciones recursivas.

Es común estar familiarizado con el concepto de suma geométrica definida para un número complejo, es más, obtener su regla general es muy sencillo, pero es un hecho que aún hay algunas generalizaciones poco estudiadas que merecen la pena ser abordadas y el objetivo de este apartado, no solo es mostrar dichas generalizaciones, el objetivo es presentar el preámbulo perfecto para establecer algunos conceptos y notaciones generales referentes a los operadores discretos aditivos y sus propiedades que son herramientas fundamentales para el estudio de las funciones aritméticas.

Primero recordemos que la suma geométrica está dada por,

$\mathbb{S} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1}\hspace{0.5cm} \forall x \in \mathbb{C}, \, \forall n \in \mathbb{N} .$

Entonces, realizando un poco de álgebra se puede obtener su fórmula general de la siguiente manera,

$\frac { \begin{aligned} \mathbb{S} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} \hspace{0.5cm} \\ & \\ - x \mathbb{S} & = -x - x^2 - x^3 - x^4 \cdots - x^n \end{aligned} }{}\\ { \mathbb{S} - x \mathbb{S} \vspace{0.5cm} = 1-x^n}$

Por lo tanto, $\forall n \in \mathbb{N}$ se tiene que ,

$\mathbb{S} = \left\lbrace \begin{aligned} &n \hspace{2cm} x=1 \\ &\frac{1-x^n}{1-x} \hspace{1cm} \forall x \neq 1 \end{aligned} \right.$

Deducir la regla general para la suma geométrica es fácil, lo que resulta no tan inmediato son las siguientes expresiones.

Observación 2.1 Sean $n, m, p \in \mathbb{N} \, x \neq 0, 1 .$ Entonces se tiene las siguiente generalizaciones de la suma geométrica.

$\displaystyle{\sum_{{k_1}=1}^{n}} \cdots \displaystyle{\sum_{{k_m}=1}^{k_{(m-1)}} } x^{k_m} + \displaystyle{\sum_{{r_1}=1}^{m}} \cdots \sum_{r_n=1}^{r_{(n-1)}} \left(\frac{ x}{ {x-1}}\right)^{r_n} = x^n \left( \frac{ x}{ {x-1}} \right)^{ m}$

$\displaystyle{\sum_{{k}=1}^{n}} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{m+k-2}{k-1}\right) {x^{k-1}} {(1-x)^{m}} + \displaystyle{\sum_{{r}=1}^{m}} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{n+r-2}{r-1}\right) \left({ {1-x}}\right)^{ r-1} {x^{n}} =1$

$\displaystyle{\sum_{{s_1}=1}^{m}} \cdots \displaystyle{\sum_{{s_p}=1}^{s_{(p-1)}} } \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{n+s_p-2}{s_p-1}\right) x^{s_p} + \displaystyle{\sum_{{r_1}=1}^{p}} \cdots \sum_{r_m=1}^{r_{(m-1)}} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{n+r_m-2}{r_m-1}\right) \left(\frac{ x}{ {x-1}}\right)^{r_m} \left(\frac{ 1}{ {1-x}}\right)^{n-1} = \\\, \, \, \, \, \, \, x^m \left( \frac{ x}{ {x-1}} \right)^{ p} \displaystyle{\sum_{{k_1}=1}^{n}} \cdots \displaystyle{\sum_{{k_m}=1}^{k_{(m-1)}} } \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{p+k_m-2}{k_m-1}\right) \left(\frac{ 1}{ {1-x}}\right)^{k_m-1}$

Deducir y demostrar estas identidades no es difícil, una vez que se manejan los conceptos y la notación adecuada se simplifican de forma notable los resultados, dando demostraciones elementales que solamente emplean inducción matemática y la linealidad que existe en la iteración del operador Suma aplicado a funciones aritméticas.

En lo siguiente se presentarán varias identidades y se asumirá que ya se está familiarizado con la notación, como sugerencia para no revisar todas las publicaciones dar clic aquí para entender los conceptos y la notación.

Definición 2.2 Sean $n, p \in \mathbb{N}, \, m \in \mathbb{Z} ,$ $\beta \in \mathbb{R}, \, \alpha \in \mathbb{C}, \, x \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace .$ Definamos las siguientes funciones.

$x^{ \prec m \succ}(n)= x^m\theta_m(n)$

ii)

$\rho_x(n)=\displaystyle\sum _{k=1}^n {}_{-1} \, \,\frac 1{(1-x)^k}=\frac{x^{1-\left[\frac 1 n\right]}}{(1-x)^n}$

iii)

$\rho_{x}^{\prec p \succ}(n)=\underbrace{ \rho_x(n)\ast {\cdots }\ast \rho_x(n)}_ {p-veces}$

iv)

$\kappa _x(n)=x^{\prec 1 \succ}(n)\ast (-\rho _x(n))=\frac{-x}{(1-x)^n}$

$\kappa_x^{\prec p \succ}(n)=\underbrace{ \kappa_x(n)\ast {\cdots }\ast \kappa_x(n)}_{p-veces}$

vi)

$x_{\beta , \alpha}^{{\prec m \succ}}(n)=x^{\beta m}\theta_{\alpha m}(n)$

vii)

$\rho_{x , \beta , \alpha }^{{\prec p \succ}}(n)= \underbrace{\rho_{x , \beta , \alpha }(n)\ast {\cdots }\ast \rho_{x , \beta , \alpha}(n) }_ {p-veces }$

donde,

$\rho_{x , \beta , \alpha} (n)\ast (x_{ \beta , \alpha}^{\prec 0 \succ}(n)-x_{ \beta , \alpha}^{\prec 1 \succ}(n))=\left[\frac 1 n\right]$

viii)

$\kappa_{x , \beta , \alpha}^{{\prec p \succ}}(n)= \underbrace{\kappa_{x , \beta , \alpha}(n)\ast {\cdots }\ast \kappa_{x , \beta , \alpha}(n) }_{p-veces }$

Ahora usando la Definición 2.2 se puede obtener y demostrar lo siguiente.

Observación 2.3 Sean $n, m, p \in \mathbb{N}, \, a, b \in \mathbb{Z}$ y $\beta \in \mathbb{R}, \, z, \alpha \in \mathbb{C}, \, x \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace .$ Entonces se tiene que:

$x^{\prec a \succ}(n)\ast x^{{\prec b \succ}}(n)=x^{\prec a+b \succ}(n)$

ii)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m x^{\prec r \succ}(n)=\rho _x(n)\ast (x^{\prec 1 \succ}(n)-x^{\prec m+1 \succ}(n))$

iii)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m {}_{p} \, x^{ \prec r \succ }(n) + \displaystyle\sum_{s=1}^p {}_{m} \, \kappa _x^{ \prec s \succ } (n) =x ^{\prec m \succ}(n)\ast \kappa_x^{\prec p \succ}(n)$

iv)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m{}_{p} \, \, \theta_r(n)x^r + \displaystyle\sum_{s=1}^p{}_{m} \, \frac{\theta_s(n)}{{(1-x)}^{n-1}}\left(\frac x{x-1}\right)^s=x^m\left(\frac x{x-1}\right)^p \displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{m} \, \, \frac{\theta_p(k)}{{(1-x)}^{k-1}}$

$\displaystyle\sum_{r=1}^m {}_{p} \, \, \theta_{r+z}(n)x^r + \displaystyle\sum_{s=1}^p {}_{m} \, \displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{z} \, \, \frac{\theta _s (k)}{(1-x)^{k-1}}\left(\frac x{x-1}\right)^s=x^m\left(\frac x{x-1}\right)^p \displaystyle\sum _{k=1}^n{}_{m+z} \,\, \frac{\theta_p(k)}{(1-x)^{k-1}}$

vi)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m {}_{p} \,\, \theta_{r+m}(n)x^{r+m} + \displaystyle\sum_{s=1}^p{}_{r+m} \, \displaystyle\sum_{r=1}^m {}_{s} \, \, \theta_r(n)x^r = \\ x^{2m}\left(\frac x{x-1}\right)^p \displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{2m} \, \, \frac{\theta_p(k)}{(1-x)^{k-1}} - \displaystyle\sum_{s=1}^p {}_{2m} \, \, \frac{\theta_s(n)}{(1-x)^{n-1}}\left(\frac x{x-1}\right)^s$

vii)

$x_{\beta , \alpha}^{{\prec a \succ}}(n)\ast x_{\beta , \alpha}^{{\prec b \succ}}(n)=x_{ \beta , \alpha}^{ {\prec a+b \succ}}(n)$

viii)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m x_{\beta , \alpha}^{\prec r \succ}(n)=\rho_{ x , \beta , \alpha }(n)\ast (x_{\beta , \alpha}^{\prec 1 \succ}(n)-x_{\beta , \alpha}^{\prec m+1 \succ}(n))$

ix)

$\displaystyle\sum_{r=1}^m {}_{p} \,\, {x_{\beta , \alpha}}^{ \prec r \succ }(n) + \displaystyle\sum_{s=1}^p {}_{m} \,\, \kappa_{x , \beta , \alpha}^{ \prec s \succ } (n) ={x_{\beta , \alpha}}^{\prec m \succ}(n)\ast \kappa_{x, \beta , \alpha}^{\prec p \succ}(n)$

Por otra parte, teniendo en cuenta la Definición 2.2 y la definición de los factoriales generalizados veamos lo siguiente.

Definición 2.4 Sean $n, m \in \mathbb{N}$ y $x \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace .$ Entonces definimos las siguientes funciones aritméticas.

$x^{\overline { \prec m \succ }} (n) := {(x\theta_1(n))} \ast { (x\theta_1(n) +\theta_1(n)) } \ast \cdots \ast {(x\theta_1(n)+(m-1)\theta_1(n) )}$

ii)

$x^{\underline { \prec m \succ }} (n) := {(x\theta_1(n))} \ast { (x\theta_1(n) -\theta_1(n)) } \ast \cdots \ast {(x\theta_1(n)-(m-1)\theta_1(n)) }$

Por lo tanto, usando la Definición 2.4 se puede ver las siguientes identidades.

Observación 2.5 Sean $n, m \in \mathbb{N}$ y $x \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace .$ Entonces se puede demostrar lo siguiente.

P1)

$(-x)^{ \prec m \succ}(n)= (-1)^{m} x^{ \prec m \succ}(n)$

P2)

$x^{\overline { \prec m \succ }} (n) = x^{\overline { m }} \, \theta_m(n)$

P3)

$x^{\underline { \prec m \succ }} (n) = x^{\underline { m }} \, \theta_m(n)$

P4)

$x^{\overline { \prec m \succ }}(n) = (- 1)^{m} (- x)^{\underline {\prec m \succ} }(n)$

Es claro que estas identidades se escinden de forma notable con la notación presentada, esto era el objetivo principal, mostrar la importancia de la linealidad en la iteración no solo del operador Suma, sino de todos los operadores discretos aditivos.

Compártelo:

Relacionado

Publicado por Enrique ToM