Iteradas sobre el operador Suma de funciones aritméticas

Publicado porEnrique ToMPublicado en Matemática discretaEtiquetas:, , ,

Un vistazo iterativo del operador Suma

En la teoría clásica de los operadores sobre funciones aritméticas es habitual el estudio del operador diferencias finitas y anti-diferencias finitas denotados respectivamente como \Delta y \nabla. De igual forma, es común hacer analogías en términos de iteración con los conceptos continuos de derivada e integral para los casos discretos. Sin embrago, para el desarrollo general de la teoría discreta es conviene dejar todo en términos de un solo operador, para ser concretos en términos del operador Suma denotado como \Sigma , esto se debe a que los operadores \Delta y \nabla tienen una naturaleza aditiva, es decir, pueden ser definidos mediante una suma de funciones aritméticas, esta idea no es reciente, por lo tanto uno de los objetivos principales es presentar de forma elemental la importancia del estudio de los operadores discretos aditivos sobre las funciones aritméticas y como punto inicial se toma el concepto de iterada sobre el operador \Sigma .

Iterada de una función aritmética sobre el operador Suma

Definición 1.1 Sea f\in \mathbb{A} (\mathbb{N}) y m\in \mathbb{N}. Diremos que la función iterada de grado m de f, respecto al operador Suma, es la función aritmética h tal que,

h(n)=\displaystyle \sum_{k_{ 1}=1}^n \displaystyle \sum_{k_{ 2}=1}^{k_1} \cdots \sum_{k_{{m-1}}=1}^{k_{{m-2}}} \displaystyle \sum_{k_{m}=1}^{k_{{m-1}}}f(k_m)

y la denotaremos como

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{m} \,\,\, f(k).

Esto es,

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{m} \,\,\, f(k)= \displaystyle \sum_{k_{ 1}=1}^n\sum_{k_{ 2}=1}^{k_1}\cdots \displaystyle \sum_{k_{{m-1}}=1}^{k_{{m-2}}}\sum_{k_{m}=1}^{k_{{m-1}}}f(k_m).

Iterada de orden cero de una función aritmética sobre el operador Suma

Definición 1.2 Sea f\in \mathbb{A} (\mathbb{N}) . Diremos que f es su función iterada de grado 0 sobre el operador Suma y denotaremos esto como, {f(n)= \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{0} \, \, f(k)}.

Iterada inversa de una función aritmética sobre el operador Suma

Definición 1.3 Sea f\in \mathbb{A} (\mathbb{N}) y m\in \mathbb{N}. Diremos que la función iterada inversa de grado {-m} de f, respecto al operador Suma, es la función aritmética h tal que,

f(n)=\displaystyle \sum_{k_1=1}^n \displaystyle \sum_{k_{ 2}=1}^{k_1} \cdots \sum_{k_{{m-1}}=1}^{k_{{m-2}}} \displaystyle \sum_{k_{m}=1}^{k_{{m-1}}}h(k_m)

y la denotaremos como

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{-m} \,\,\, f(k).

Esto es,

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{-m} \,\,\, f(k) = \displaystyle \sum_{k_{ 1}=1}^n\sum_{k_{ 2}=1}^{k_1}\cdots \displaystyle \sum_{k_{{m-1}}=1}^{k_{{m-2}}}\sum_{k_{m}=1}^{k_{{m-1}}}h(k_m).

En esta definición de iterada de grado negativo conviene comentar que es lícito referirse a ella como iterada recíproca o dual cuando se usan términos positivos en su definición, e iterada inversa o negativa cuando se emplean términos negativos. Pero para evitar confusiones con algunos conceptos del álgebra lineal, es conveniente emplear términos negativos en la definición. Sin embargo, es claro que esto no afecta en nada los resultados.

Ejemplos de iteradas finitas de funciones aritméticas

1)

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n {}_{m+p}\, f(k) &= \sum_{{k_1}=1}^n \sum_{{k_2}=1}^{k_1} \cdots \sum_{{k_m}=1}^{k_{ m-1}}\sum_{k=1}^{k_{m}}{}_{p} \,\, f(k) \\ &= \sum_{{k_1}=1}^n \sum_{{k_2}=1}^{k_1} \cdots \sum_{{k_m}=1}^{k_{ {m-1}}} \sum_{{k_{m+1}}=1}^{k_{ {m}}} \cdots \sum_{{k_{m+p-1}}=1}^{k_{ m+p-2}} \sum_{{k_{m+p}}=1}^{k_{ m+p-1}} f(k_{m+p}) \\ & = \sum_{{k_1}=1}^n \sum_{{k_2}=1}^{k_1} \cdots \sum_{{k_p}=1}^{k_{ p-1}} \sum_{k=1}^{k_p} {}_{m} \,\, f(k) \\ & = \sum_{k=1}^n {}_{p+m} \, \, f(k) \hspace{1cm} \forall n, m, p \ \in \mathbb{N}, \, \, f \in \mathbb{A} (\mathbb{N}). \end{aligned}

2)

\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{m} \, \, 1 = \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{m+n-1}{n-1}\right) \hspace{1cm} \forall n,m\in \mathbb{N}.

3)

\displaystyle \sum _{k=1}^n {}_{m} \, \, x^k \, + \, \displaystyle \sum _{r=1}^m {}_{n} \,\, \left(\frac{x}{ {x-1}}\right)^{ r} = x^n\left(\frac{x}{ {x-1}}\right)^{ m} \hspace{1cm} \forall m, n \in \mathbb{N}, \, \, \forall x\in \mathbb{C}\setminus { \{ 1 \} .}

4)

\displaystyle \sum_{r=1}^m {}_{q} \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{r+p} \, \, x^k \, + \, \displaystyle \sum_{k=1}^n{}_{p} \displaystyle \sum_{r=1}^m{}_{k+q} \,\, \left(\frac{ x}{ {x-1}}\right)^{r}= \left(\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{p} \, \, x^k\right)\left(\displaystyle \sum_{r=1}^m {}_{q} \, \, \left(\frac{x}{ {x-1}}\right)^{ r}\right) \\ \forall m, n, p, q \in \mathbb{N}, \, \, \forall x\in \mathbb{C}\setminus { \{ 1 \} .}

5)

\displaystyle \sum _{k=1}^n {}_{-m} \, \, \left[\frac {1} {k} \right]=(-1)^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}m{n-1}\right) \hspace{1cm}\forall n,m\in \mathbb{N} .

Como se puede advertirse, el uso de la notación presentada puede tomarse como referencia para el estudio general de los operadores discretos aditivos, debido a que estos tienen una característica que los diferencia de otros operadores discretos, ya que al representarse como una suma finita de funciones aritméticas, cumplen la propiedad lineal en la iteración, es decir, toda iteración aplicada sobre funciones aritméticas, no importando el grado, se puede representar como una suma finita de funciones aritméticas y esto es algo importante porque da una teoría suficientemente robusta para hacer converger muchos de los conceptos clásicos de los operadores discretos y por otra parte genera una herramienta eficaz para obtener identidades finitas que involucran sumas.

Publicado por Enrique ToM

Matemático, estoy convencido que el conocimiento tiene que compartirse sin tanto protocolo.