Teorema de linealidad en la iteración del operador Suma sobre funciones aritméticas

Como se había mencionado en Iteradas sobre el operador Suma de funciones aritméticas hay una propiedad muy interesante que caracteriza a estas iteraciones de una función aritmética arbitraria, esto es, que dichas iteradas pueden representarse en términos de una sola suma que involucra a la función sobre la que se realiza la iteración y otra función que solo depende de las veces que se itera el operador $\Sigma ,$ esto es de vital importancia para introducir el estudio de los operadores discretos aditivos, por lo tanto se mostrará esto de la forma más detallada posible y se incluirá la demostración del teorema que lo describe.

Lo primero es definir la función que se usa en el Teorema en cuestión, es claro que esta función es clásica y ha sido ampliamente estudiada en diferentes contextos, pero aquí será usada en el contexto de la notación propuesta para denotar a las iteraciones.

Definición 3.1 Sean $n \in \mathbb{N}, \, m\in \mathbb{Z}.$ Entonces se define la siguiente función como,

$\theta_m(n)=\displaystyle \sum _{k=1}^n {}_{m} \left[\frac {1} {k}\right] .$

$\text{donde,} \hspace{2cm} \left[\frac {1} {n}\right] = \left\lbrace \begin{aligned} 1 \hspace{0.5cm} & n=1, \\ 0 \hspace{0.5cm} & 1<n . \end{aligned} \right.$

Usando inducción matemáticas se puede demostrar que,

$\theta_m (n) = \left\lbrace \begin{aligned} \binom{n+m-2}{n-1} \hspace{2cm} & \forall m>0, \\ \left[\frac {1} {n}\right] \hspace{3cm} & m=0, \\ (-1)^{n-1} \binom{-m}{n-1} \hspace{1cm} & \forall m<0 . \end{aligned} \right.$

Por otro lado, también necesitamos el siguiente resultado para que la demostración del teorema sea inmediata.

Teorema 3.2 Sean $f, g, h$ y $p$ funciones aritméticas tales que,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n f(k) &=g(n) \\ \displaystyle \sum_{k=1}^n h(k)&=p(n) \end{aligned}$

Entonces se tiene que,

$\displaystyle\sum_{k=1}^n f(n+1-k)p(k)= \displaystyle \sum_{k=1}^n h(n+1-k)g(k) .$

Esta demostración la omitiremos ya que es elemental por inducción matemática, si hay interés en la demostración se puede revisar en este link. Ahora que ya tenemos lo necesario se puede establecer el siguiente teorema.

Teorema 3.3 Para cualquier función aritmética $f$ se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m} \, \, f(k)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_{m}(n+1-k)f(k) \hspace{1cm} \forall n \in \mathbb{N}, \, \forall m \in\mathbb{Z} .$

Demostración:

Primero veamos que es cierto para $m=0.$

Por la Definición 1.2 sabemos que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{0} \, f(k)=f(n) \hspace{0.5cm} \forall f\in A(\mathbb{N}).$

Por otra parte, por la Definición 3.1 sabemos que, $\, \theta _0(n)=\left[\frac 1 n\right].$ Entonces,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_0 (n+1-)f(k)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left[ \frac {1} {k} \right] f(n+1-k)=f(n) .$

Por lo tanto se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{0} \, f(k)= \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_0(n+1-k)f(k) \hspace{0.5cm} \forall f \in \mathbb{A}(\mathbb{N}).$

Ahora, usaremos inducción en dos casos,

ii)

Supóngase que el resultado es lícito para algún $m>0.$

Entonces se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m} \, \, f(k)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_{m}(n+1-k)f(k)$

Por otro lado, por la Definición 3.1 y por la Definición 1 .1

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_m(k)= \theta_{ m+1} (n).$

Ahora supongamos que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n f (k)=g_f(n).$

Entonces, por el Teorema 3.2 y por las siguientes igualdades,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n \, f(k) &= \, g_f(n), \\ \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_m(k)&= \theta_{ m+1} (n) .\end{aligned}$

Se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{m+1} (n+1-k)f(k)=\sum_{k=1}^n \theta_m (n+1-k) g_f(k).$

Por otra parte, por la hipótesis de inducción y por la Definición 1.1 se tiene,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}{m} \, g_f(k)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_m(n+1-k)g_f(k) .$

De igual forma por la Definición 1.1 se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m+1} \, f(k)= \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m} \, g_f(k)$

Es claro que en la igualdad anterior de usa el siguiente hecho ,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \, f(k)= g_f(n).$

Por lo tanto comparando igualdades,

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m+1} \, f(k) &= \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m} \, g_f(k) \\ &= \sum _{k=1}^n \theta_m(n+1-k)g_f(k) \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{m+1} (n+1-k)f(k) \end{aligned}$

con lo que se concluye la demostración para $m>0 .$

iii)

Ahora supongamos que el resultado es cierto para alguna $m<0 .$

Primero veamos que es cierto para $m=-1 .$

Por la Definición 1.3 se tiene que,

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\theta_{-1}(k)=\left[\frac 1 n\right]$

Y por otra parte, sin pérdida de generalidad sea,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n g_f(k)=f(n)$

Entonces aplicando el Teorema 3.2 a las igualdades anteriores se sigue que,

$\displaystyle \sum _{k=1}^n g_f(n+1-k)\left[\frac 1 k\right]=\displaystyle \sum_{k=1}^n\theta_{-1}(n+1-k)f(k)$

Por otro lado,

$\displaystyle\sum_{k=1}^n g_f(n+1-k)\left[\frac 1k\right]=g_f(n)$

Por lo tanto, de las igualdades anteriores se tiene que,

$g_f(n)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{-1}(n+1-k)f(k)$

Y por la Definición 1.3 sabemos que,

$g_f(n)=\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1} \, \, f(k)$

Luego, comparando igualdades se sigue que,

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1} \, \, f(k) &= g_f(n) \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{-1}(n+1-k)f(k) \end{aligned}$

Con lo que se concluye esta parte de la demostración.

Ahora supongamos que el resultado es cierto para alguna $m<0,$ es decir,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{m} \, f(k)=\sum_{k=1}^n\theta_m(n+1-k)f(k)$

Puesto que $m<0,$ entonces $m=-p$ para alguna $p \in \mathbb{N} .$

Así, por la de Definición 3.1 se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{-p-1}(k) =\theta_{ -p}(n) .$

Entonces suponiendo sin pérdida de generalidad que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n g_f(k)=f(n)$

Y aplicando el Teorema 3.2 a las igualdades anteriores obtenemos que,

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\theta_{ -p-1}(n+1-k) f(k)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\theta_{-p}(n+1-k) g_f(k) .$

Y por la hipótesis de inducción sabemos que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-p} \, \, g_f(k)= \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{-p}(n+1-k)g_f(k) .$

Y por la Definición 1.3 se cumple que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-p} \, \, g_f(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-p-1} \, \, f(k)$

Por lo tanto, comparando igualdades,

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-p-1} \, \, f(k) &= \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-p} \, \, g_f(k) \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^n \theta_{-p-1}(n+1-k)f(k) \end{aligned}$

Se tiene lo que se quiera demostrar.

Es claro que la demostración del Teorema 3.3 es elemental ya que solamente se emplea inducción y manipulaciones algebraicas básicas, en la demostración se hace evidente la practicidad de la notación propuesta para representar a las iteraciones del operador Suma, esta idea era uno de los objetivos principales de esta entrada, ya que de forma implícita se da la idea general de la demostración para los operadores discretos que cumplen la propiedad lineal en la iteración.

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Publicado por Enrique ToM

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