Iteradas de orden complejo de una función aritmética sobre el operador Suma

En el estudio del cálculo de operadores finitos, normalmente aplicado a polinomios es común introducir las propiedades de los factoriales ascendentes (crecientes) y descendentes (decrecientes), además es habitual usar la función Gamma de Euler para dar la generalización del concepto de factorial de números naturales, por lo tanto, vamos a apoyarnos en muchas de sus propiedades y definiciones conocidas de los factoriales generalizados para realizar la extensión compleja de iterada de una función aritmética, haciendo analogías con los conceptos presentados en Iteradas sobre el operador Suma de funciones aritméticas para posteriormente establecer la propiedad lineal en la iteración de esas iteradas generalizadas, las cuales son resultados análogos a los establecidos en Teorema de linealidad en la iteración del operador Suma sobre funciones aritméticas. No se profundizará en los conceptos de factoriales generalizados, el objetivo es usarlos y adaptarlos al contexto de iteración, solamente ocuparemos las generalizaciones más inmediatas de los factoriales naturales para lograr nuestro propósito. Sin embargo, se pueden consultar diferentes textos para conocer más generalizaciones tipo factorial.

Factoriales generalizados

Primero mostraremos las definiciones usuales de las extensiones complejos de los factoriales

Definición 4.1 Sean $z \in \mathbb{C}$ y $n \in \mathbb{N}.$ Entonces definimos lo siguiente:

i) Factorial descendente de $z .$

$z^{ \underline {n}}: = z (z-1) \cdots (z-n + 1)$

ii) Factorial ascendente de $z .$

$z^{ \overline {n}}: = z (z+1) \cdots (z+n - 1)$

iii) Factorial cero

$z^{\overline {0}} = z^{\underline {0}}: = 1$

Observación 4.2 De la definición anterior y por la definición de la función $\Gamma$ se puede verificar que se cumplen las siguientes propiedades:

P1)

$z^{\overline {n}} = (- 1)^{n} (- z)^{\underline {n}} \hspace {0.5cm} \forall z \in \mathbb {C}$

P2)

$z^{\overline{n}}={\Gamma(z+n) \over \Gamma(z)} \hspace{0.5cm} \Re(z)>0$

P3)

$z^{\overline{-n}}:={ \Gamma (z-n) \over \Gamma(z)} =(-1)^{n} { 1 \over (1-z)^{\overline{n}}} \hspace{0.5cm} \forall z \neq 1, \ldots , n$

P4)

$z^{\underline{-n}}= { 1 \over (z-1)^{\underline{n}}} \hspace{0.5cm} \forall z \neq 1, \ldots , n$

Con la Definición 4.1 y la Observación 4.2 tenemos lo necesario para introducir el concepto de iterada de orden superior, el cuál, ha sido ampliamente estudiado pero con un enfoque diferente al presentado aquí. Lo primero es extender la función de la Definición 3.1 .

Definición 4.3 Para cualquier $z\in \mathbb{C}$ y $\forall n \in \mathbb{N}$ definimos la función $\theta _z(n)$ como,

$\theta_z (n) = \left\lbrace \begin{aligned} \frac {z^{\overline {n-1}}} {(n-1)!} \hspace{2cm} & \forall z \neq 0, \\ \left[\frac {1} {n}\right] \hspace{2.5cm} & \forall z=0 . \end{aligned} \right.$

Ahora usando lo anterior tenemos la siguiente definición.

Definición 4.4 Sea $f \in \mathbb{A}(\mathbb{N})$ y $z\in \mathbb{C}$ . Diremos que la función iterada de grado $z$ de la función $f$ sobre el operador $\Sigma ,$ es una función aritmética $g$ tal que,

$g(n)= \displaystyle \sum_{k=1}^n\theta_z(n+1-k)f(k)$

y la denotaremos como,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{z} \, \, f(k).$

Es claro que la Definición 4.4 extiende a la Definición 1.1, la Definición 1.2 y la Definición 1.3 porque al considerar valores enteros, coincide con las iteraciones respecto del operador $\Sigma$ , evidentemente para entender la distinción de esta generalización, hay que entender que en la Definición 4.4 se define un operador aditivo ${\Sigma}_z ,$ el cual se obtiene como resultado de aplicar la suma de una función aritmética $f$ sobre el operador $\Sigma$ respecto de una función aritmética fija, $\theta_z(n).$ Análogamente, se pueden definir iteraciones sobre el operador $\Sigma_z$ para cualquier función aritmética $f.$ Sin embrago, hacer esto es solo un caso particular, pero que merece la pena mencionar por las propiedades que tienen los factoriales complejos. Por lo tanto, se tiene el punto de partida ideal para mostrar en otro apartado las iteraciones respecto a cualquier función aritmética fija, digamos $g$ , sobre el operador $\Sigma$ lo cual define un operador aditivo $\Sigma_g$ que también cumple la propiedad lineal en la iteración sobre funciones aritméticas.

Convolución o producto de Cauchy

Para entender la idea de iterada de respecto del operador $\Sigma_z ,$ se debe introducir el concepto de producto de Cauchy sobre funciones aritméticas, así se podrán mostrar las propiedades de este operador aditivo $\Sigma_z ,$ inducido por la función aritmética $\theta_z(n)$ y el operador suma $\Sigma .$

Definición 4.5 Para cualesquiera funciones aritméticas $f ,g \in \mathbb{A}(\mathbb{N})$ diremos que el producto de Cauchy (convolución) es una función aritmética $h$ tal que,

$h(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n f(n+1-k)g(k)$

y se denota como,

$h(n) = {f(n)\ast g}(n)$

Con el concepto de convolución se dispone de una herramienta muy poderosa que describe a los operadores discretos $\Sigma_g ,$ inducidos por una función aritmética $g$ y el operador $\Sigma ,$ esto es, cuando se itera el operador sobre cualquier función aritmética $f,$ se entiende como una convolución de funciones. No vamos a profundizar de momento en este tema, solo vamos a establecer algunas propiedades inmediatas del operador $\Sigma_z$ usando las convoluciones de funciones aritméticas.

Observación 4.6 Sean $f \in \mathbb{A}(\mathbb{N})$ y $z, w \in \mathbb{C}.$ Entonces se tiene lo siguiente,

I1)

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{z} \, \, f(k) = {\theta_z(n)}\ast {f(n)}$

I2)

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{z} \, \, \theta_w(k) = \theta_{z+w}(n)$

I3)

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{z+w} \, \, f(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{w+z} \, \, f(k)$

I4)

$\displaystyle{\sum_{{{k}=1}}^{n}}{}_{z} \, \, k^p = \displaystyle{\sum_{r=1}^p} (-1)^{p-r}{r!}S(p,r) \theta_{z+r+1}(n)$
$S(p,r)$ – Números de Stirling de segunda clase

I5)

$\displaystyle\sum_{r=1}^p \displaystyle{\sum_{{{k}=1}}^{n}}{}_{z} \, \, s(p,r) k^r = {m!} \theta_{z+p+1}(n)$
$s(p,r)$ – Números de Stirling de primera clase

Demostrar estas propiedades con todo el trabajo previo es sencillo y se omitirá. En lugar de eso presentaremos una sección independiente como paréntesis de un caso muy significativo del operador $\Sigma_z$ para cuando $z= \frac{1}{2},$ el cuál está estrechamente ligado con los números de Catalán.

Añadiendo ejemplos numéricos

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^4 {}_{i} \, \, k^2 &= \displaystyle \sum_{k=1}^4 \theta_i(k)(5-k)^2 \\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^4 {\dfrac{(i)^{\overline{k-1}}}{(k-1)!} }(5-k)^2 \\ &= {\dfrac{(i)^{\overline{0}}}{0!} }4^2 + {\dfrac{(i)^{\overline{1}}}{1!} }3^2+{\dfrac{(i)^{\overline{2}}}{2!} }2^2+{\dfrac{(i)^{\overline{3}}}{3!} }1^2 \\ & = {\dfrac{1}{0!} }4^2 + {\dfrac{i}{1!} }3^2+{\dfrac{i(i+1)}{2!} }2^2+{\dfrac{i(i+1)(i+2)}{3!} }1^2 \\&= 16+9i+2(i-1)+{1 \over 6}(i-3) \\ &= {27 \over 2} + {67\over6}i \end{aligned}$

ii)

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^4 {}_{-\sqrt{2}} \,\, \, \mu(k) &= \displaystyle \sum_{k=1}^4 \theta_{ -\sqrt{2}}(k)\mu(5-k) \\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^4 {\dfrac{(-\sqrt{2})^{\overline{k-1}}}{(k-1)!} }\mu(5-k) \\ &= {\dfrac{(-\sqrt{2})^{\overline{0}}}{0!} }\mu(4) + {\dfrac{(-\sqrt{2})^{\overline{1}}}{1!} }\mu(3)+{\dfrac{(-\sqrt{2})^{\overline{2}}}{2!} }\mu(2)+{\dfrac{(-\sqrt{2})^{\overline{3}}}{3!} }\mu(1) \\ & = {\dfrac{1}{0!} }(0)+ {\dfrac{-\sqrt{2}}{1!} }(-1)+{\dfrac{(-\sqrt{2})(-\sqrt{2}+1)}{2!} }(-1)+{\dfrac{(-\sqrt{2})(-\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}+2)}{3!} }(1) \\&= \sqrt{2} + {{\sqrt{2}-2}\over{2}}+ {{6-4\sqrt{2}}\over{6}} \\ &= {5 \over 6}\sqrt{2} \end{aligned}$

iii)

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^4 {}_{1-i} \, \, \theta_{i}(k) &= \displaystyle \sum_{k=1}^4 \theta_{1-i}(k)\theta_{i}(4-k) \\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^4 {\dfrac{(1-i)^{\overline{k-1}}}{(k-1)!} }{\dfrac{(i)^{\overline{4-k}}}{(4-k)!} } \\ &= {\dfrac{(1-i)^{\overline{0}}}{0!} }{\dfrac{(i)^{\overline{3}}}{3!} } + {\dfrac{(1-i)^{\overline{1}}}{1!} }{\dfrac{(i)^{\overline{2}}}{2!} }+{\dfrac{(1-i)^{\overline{2}}}{2!} }{\dfrac{(i)^{\overline{1}}}{1!} }+{\dfrac{(1-i)^{\overline{3}}}{3!} }{\dfrac{(i)^{\overline{0}}}{0!} } \\ &= {{-10i}\over{6}} + {{i-3}\over{6}}+{{i+3}\over{2}} +i\\ &=1 \end{aligned}$

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Factoriales generalizados

Convolución o producto de Cauchy

Añadiendo ejemplos numéricos

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