Introducción a la 1/2-Suma

$C_{n+1}= \displaystyle \sum_{k=0}^n C_k C_{n-k}, \hspace{1cm} C_0=1.$

Este es uno de los ejemplos más significativos de las Iteradas de orden complejo de una función aritmética sobre el operador Suma pese a ser un caso particular su característica se basa en las propiedades de la función $\Gamma$ y en el hecho de que está relacionado con los números de Catalán ordinarios.

Recordemos que los números de Catalán están definidos como,

Y su expresión general es,

$C_{n}=\dfrac{1}{n+1} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) .$

Por otra parte, se considera su función generatriz definida como,

$C(z)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n .$

Usando lo anterior, convolución y la definición de los números de Catalán se tiene que,

$C^2(z)-\dfrac{C(z)}{z}+\dfrac{1}{z}=0.$

Entonces, obteniendo raíces de $C(z)$ se tiene que,

$C(z)=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4z}}{2z}.$

Por otro lado, recordando lo siguiente,

$\sqrt{1+y}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{1/2}{n}\right)y^n.$

Entonces, tomando $y=-4z,$ manipulando y comparando coeficientes esto da lugar a la definición usual de la 1/2-Transformación y con argumentos análogos a la definición de la -1/2-Transformación.

Definición 5.1 Sea $z\in \mathbb{C}.$ Entonces se define lo siguiente,

$\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{1/2}{n}\right)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}(2n-1)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) \, \, \quad \text{(1/2)-Trasformaci}\acute{o}\text{n}$

ii)

$\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{-1/2}{n}\right)=\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n}} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) \, \, \quad \text{(-1/2)-Trasformaci}\acute{o}\text{n}$

Por otra parte, recordando lo expuesto en la Observación 4.2 y de las propiedades de la función $\Gamma$ se sigue que,

$\Gamma(n+1/2)=\dfrac{(2n)!}{4^nn!}\Gamma(1/2)$

Ahora, por la Definición 4.3 y por lo anterior sabemos que para $z=\frac{1}{2},$ tenemos la siguiente expresión para la función aritmética $\theta_{1/2}(n)$

Observación 5.2 Sea $n \in \mathbb{N}.$ Entonces se tiene lo siguiente,

$\begin{aligned} \theta_{1/2}(n)&=\frac{(1/2)^{\overline{n-1} }}{(n-1)!} \\ &=\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2}-1)}{\Gamma(1/2)\Gamma(n)}\\ &=\dfrac{\Gamma(n-\frac{1}{2})}{\Gamma(1/2)\Gamma(n)} \\ & =\dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) \end{aligned}$

Por otra parte, para obtener $\theta_{-1/2}(n)$ solo hay que emplear iteraciones y la Definición 5.1.
Notemos que por la Observación 4.5 se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-{\frac{1}{2}}} \, \, 1 =\sum_{k=1}^n \theta_{- \frac{1}{2}}(k) =\theta_{1/2}(n).$

Así, aplicando $\Sigma_{-1}$ a la igualdad anterior se tiene que,

$\displaystyle \sum_{k_1=1}^n{}_{-1} \, \displaystyle \sum_{k_2=1}^{k_1} {}_{- \frac{1}{2}} \, \, 1 = \displaystyle \sum_{k_1=1}^n {}_{-1} \sum_{k_2=1}^{k_1} \theta_{-1/2} (k_2) =\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1} \, \, \theta_{1/2}(k).$

Entonces, aplicando álgebra de subíndices, se sigue que,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1-\frac{1}{2}} \, \, 1 =\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1+1} \, \, \theta_{-1/2}(k) =\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1} \,\, \theta_{1/2}(k).$

Por lo tanto,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{0} \, \, \theta_{-1/2}(k) =\displaystyle \sum_{k=1}^n {}_{-1} \,\, \theta_{1/2}(k).$

Y por la Definición 1.2 se sigue que ,

$\theta_{-1/2}(n) =\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{-1} \,\, \theta_{1/2}(k).$

Usando la Observación 4.6 tenemos que,

$\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{-1} \,\, \theta_{1/2}(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^n\theta_{-1}(k)\theta_{1/2}(n+1-k).$

Y por la Definición 3.1 se tiene que,

$\theta_{-1}(n)= (-1)^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{1}{n-1}\right) .$

Así, tenemos que,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{-1} \, \, \theta_{1/2}(k) &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_{-1}(k) \theta_{1/2} (n+1-k) \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \left( \genfrac{}{}{0pt}{0}{1}{k-1} \right) \theta_{1/2}(n+1-k) \\ & =\theta_{1/2}(n)-\theta_{1/2}(n-1) \\ &= \dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)} \left( \genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) -\dfrac{2(n-1)}{2^{2(n-1)}(2(n-1)-1)} \left( \genfrac{}{}{0pt}{0}{2(n-1)}{n-1}\right) \\ &= \dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) -\dfrac{2(n-1)}{2^{2(n-1)}(2(n-1)-1)} \left( \dfrac{n}{2(2n-1)} \right) \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) \\ &=\dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)} \left( \genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) \left( 1- \dfrac{2n-2}{2n-3} \right) \\ &= \dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)}\left( \genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n} \right) \left( \dfrac{-1}{2n-3} \right). \end{aligned}$

Por lo tanto es inmediato lo siguiente,

Observación 5.3 Sean $n \in \mathbb{N}.$ Entonces se tiene que,

$\theta_{-1/2}(n)= \dfrac{(-1/2)^{\overline{n-1} }}{(n-1)!} =\dfrac{2n}{2^{2n}(2n-1)(3-2n)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2n}{n}\right) .$

Por otra parte es inmediato notar que,

Observación 5.4 Sean $n \in \mathbb{N}$ y $f \in \mathbb{A} (\mathbb{N}).$ Entonces se tiene que,

P1)

$\theta_{1/2}(n)= (3-2n) \theta_{-1/2}(n)$

P2)

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{\frac{1}{2}} \, \, f(k) &=\sum_{k=1}^n \theta_{1/2}(k)f(n+1-k) \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{2k}{2^{2k}(2k-1)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2k}{k}\right) f(n+1-k) \end{aligned}$

P3)

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{{-} \frac{1}{2}} \, \, f(k) &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_{-1/2}(k)f(n+1-k) \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{2k}{2^{2k}(2k-1)(3-2k)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2k}{k}\right) f(n+1-k) \end{aligned}$

P4)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{\frac{1}{2}}\,\, f(k) =\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(3-2k \right) \theta_{-1/2}(k)f(n+1-k)$

P5)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{z} \, \, k\theta_{-1/2}(k)=\left(\dfrac{3}{2} \right) \theta_{z-\frac{1}{2}}(n)-\left(\dfrac{1}{2} \right) \theta_{z+\frac{1}{2}}(n)$

P6)

$g(n) =\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{\frac{1}{2}}\,\, f(k) \Leftrightarrow f(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{{-} \frac{1}{2}} \, \, g(k)$

Como se puede advertir con las identidades anteriores, la propiedad lineal que existe en la iteración de operadores aditivos sobre funciones aritméticas es una herramienta muy útil que merece ser estudiada a detalle desde un punto de vista elemental. Por otra parte, para visualizar que el concepto de 1/2-Suma solamente es un caso particular de las iteradas de orden complejo y que es el punto de referencia inicial adecuado para presentar más identidades similares que pueden obtenerse y entenderse a partir de conocer el concepto de la 1/2-Suma, basta con añadir varias identidades que nos resultarán inmediatas, pues ya nos podemos considerar conocedores del tema.

Observación 5.5 Sean $n \in \mathbb{N}$ y $f \in \mathbb{A} (\mathbb{N}).$ Entonces se tiene que,

Q1)

$\theta_{3/2}(n)= {{(5-2n)(3-2n)(2n-1)}\over {3}} \theta_{-3/2}(n)$

Q2)

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{\frac{3}{2}} \, \, f(k) &=\sum_{k=1}^n \theta_{3/2}(k)f(n+1-k) \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{2k}{2^{2k}} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2k}{k}\right) f(n+1-k) \end{aligned}$

Q3)

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{{-} \frac{3}{2}} \, \, f(k) &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \theta_{-3/2}(k)f(n+1-k) \\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{6k}{2^{2k}(2k-1)(3-2k)(5-2k)} \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2k}{k}\right) f(n+1-k) \end{aligned}$

Q4)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{\frac{1}{2}}\,\, f(k) =\displaystyle\sum_{k=1}^n {{(5-2k)(3-2k)} \over {3}} \theta_{-3/2}(k)f(n+1-k)$

Q5)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{z} \, \, (k^2-4k)\theta_{-3/2}(k)=\left(\dfrac{3}{4} \right) \theta_{z+\frac{1}{2}}(n)-\left(\dfrac{15}{4} \right) \theta_{z-\frac{3}{2}}(n)$

Está por demás comentar que es posible seguir interando y encontrar nuevas identidades, de igual forma se puede obtener y definir el concepto de ( $1 \over 2^p$ ) -Suma para toda $p \in \mathbb{N}$

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Publicado por Enrique ToM